问题的定义
定义: 假如两个运动员 A 和 B 相约通过投篮的方式分出胜负, 规则是: 一人投一次, 率先投进的人获胜. 如果 A 和 B 两人投篮时所站的位置相同, 并且每次命中的概率分别是 \(p\) 和 \(q\), 如果 A 先投, 那么他获胜的概率是多少?
澄清: 假设运动员每次投篮的概率都相等, 并且周围的环境不会对他造成任何影响.
解决这个问题涉及到几何级数: \(\text{if } r\in R \text{ and } |r|<1\text{ then:}\)
$$\sum_{n=0}^{\infty}{r^n}=1+r+r^2+r^3+\cdots=\frac{1}{1-r}$$解决方法
假如 A 第一次投篮就投中, 显然这个事件的概率是 \(p\). 而 A 在第二次投篮时投中的概率是\((1-p)(1-q)p\), 因为 A 第二次投篮投中说明:
- A 在第一次没有投中, 这个事件的概率是 \((1-p)\).
- B 在第一次也没有投中, 这个事件的概率是 \((1-q)\).
因此, A 在第二轮投中这一事件蕴含着两个额外的事件, 这一事件发生的概率实际上是三个事件同时发生的概率. 由于 A 每次投篮投中的概率都是 \(p\), 所以 A 第二次投篮命中的概率是 \(r\times p\), 此处 \(r=(1-p)(1-q)\).
以此类推, A 第三次投篮投中的概率是\(r^2\times p\), 因为 A 和 B 在第一轮都失手的概率是 \(r\), 在第二轮都失手的概率是 \(r^2\). A 第 \(n\) 次投篮命中的概率就等于\(r^{(n-1)}\times p\), \(r\)的指数是\(n-1\)是因为第\(n\)次成功就意味着前\(n-1\)次两人都失败.
这样就求得了 A 在第\(1, 2, 3 \cdots, n\)轮投篮投中的概率. 那么 A 获胜的总概率就等于这些概率的和:
$$p+rp+r^2p+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}r^n\times p=p\sum_{n=0}^{\infty}r^n$$这是一个几何级数, 根据几何级数求和公式:
$$p\sum_{n=0}^{\infty}r^n=\frac{p}{1-r}, \text{其中}r=(1-p)(1-q)$$假如 A 的投篮命中率为 \(80\%\), B 为 \(75\%\). 那么 如果 A 先投, A 获胜的概率为 \(0.8 \div (1-0.2\times 0.25)\approx 0.842\).
几何级数的证明
另一种方法
还有另一种方法可以推导出这个概率, 并且这种方法不需要使用几何级数, 甚至可以通过这种方法推导出几何级数. 之前的方法是算出每次投中的概率, 然后求和, 从而得到获胜的概率.
换一个角度思考问题, 假设\(x\)是 A 获胜的概率(注意不是投中的概率). 假如 A 第一次投就投中, A 直接就能获胜, 这个事件的概率是\(p\). 假如 A 没有投中, 此时 A 还是有希望获胜, 只要 B 也没有投中, 比赛就会进入下一轮. 注意，当新一轮比赛开始时, A 获胜的概率依旧是\(x\), 因为第一轮的比赛并不会对选手投篮的命中率有任何影响, 比赛相当于回到了原点. 那么比赛回到原点这一事件的概率是多少呢? 这一概率就等于 A 和 B 都没投中的概率, 也就是\((1-p)(1-q)\), 因此比赛回到原点后 A 获胜的概率就是\((1-p)(1-q)x\).
此时我们已经求得了 A 获胜的所有可能性, 直接赢, 概率为\(p\), 比赛重新开始后再赢, 概率为\((1-p)(1-q)x\), 两者相加就是 A 获胜的概率: \(x = p+rx\), 其中\(r=(1-p)(1-q)\).
通过解此方程就可以求出:
$$ x=\frac{p}{1-r} $$相关问题
代回法的另一个例子是, 令 \(F_n\) 表示第 \(n\) 个斐波那契数, 计算 \(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_n}{3^n}}\) 的值. 记
$$ x=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_n}{3^n}} $$那么:
$$ \begin{aligned} x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_n}{3^n}} \nonumber \\ &=\frac{F_0}{3^0}+\frac{F_1}{3^1}+\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{F_n}{3^n}} \nonumber \\ &=\frac{1}{3}+\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{F_{m+2}}{3^{m+2}}} \nonumber \\ &=\frac{1}{3}+\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{F_m+F_{m+1}}{3^{m+2}}} \nonumber \\ &=\frac{1}{3}+\sum_{m=0}^{\infty}{\frac{F_m}{3^{m}\cdot 9}} + \sum_{m=0}^{\infty}{\frac{F_{m+1}}{3^{m+1}\cdot 3}} \nonumber \\ &=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_n}{3^{n}}} + \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{3^n}} \nonumber \\ \end{aligned} $$由于 \(F_0=0\), 最后一行可以写成:
$$ \frac{1}{9}+\frac{1}{9}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_n}{3^{n}}} + \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{F_{n}}{3^n}} $$也就是
$$ \begin{aligned} x&=\frac{1}{9}+\frac{x}{9}+\frac{x}{3} \\ x&=\frac{3}{5} \end{aligned} $$